物理学、特に力学系や複雑系の理論における「ロバストネス（堅牢性、頑健性）」は、単なる「壊れにくさ」という日常語を超え、「システムのパラメータ変化や外部攪乱に対して、その定性的な振る舞いや機能が不変に保たれる性質」と定義されます。
厳密な定義とその背景にある数学的枠組みを整理して解説します。
1. 数学的定義：構造安定性
物理学においてロバストネスを最も厳密に記述する概念は、微分力学系における構造安定性 (Structural Stability) です。
ある力学系がベクトル場 $f$ によって $\dot{x} = f(x)$ と記述されるとき、この系がロバストであるとは、以下のように定義されます。
定義:
ベクトル場 $f$ に微小な摂動 $\epsilon g$ を加えた新しい系 $\dot{x} = f(x) + \epsilon g(x)$ を考える。
十分に小さな $\epsilon > 0$ に対して、元の系と摂動後の系が位相共役 (Topological Conjugacy) である（＝位相同型写像によって軌道の構造が保たれる）とき、その系は構造的に安定、すなわちロバストであると言う。
簡潔に言えば、「パラメータを少し動かしても、相図（フェイズポートレート）のトポロジーが変化しないこと」を指します。
2. 「安定性 (Stability)」との決定的な違い
物理学において「安定性」と「ロバストネス」はしばしば混同されますが、厳密には対象とする空間が異なります。
| 概念 | 対象とする摂動 | 意味 |
| 動的安定性 (Lyapunov等) | 状態変数 $x$ への攪乱 | 平衡点からずれても、元の状態に戻る能力。 |
| ロバストネス | システム構造（パラメータ $\mu$ や関数形 $f$） への攪乱 | システムのルール自体が変わっても、機能や秩序が維持される能力。 |
3. 分岐理論との関係
ロバストネスが失われる境界は、数学的には分岐 (Bifurcation) 点として定義されます。
システムがパラメータ変化に対してロバストである期間は、系が特定の分岐（サドルノード分岐、ホップ分岐など）を起こさない範囲内に限定されます。
$$\text{Robustness Margin} = \min \{ \|\Delta \mu\| \mid \text{System at } \mu + \Delta \mu \text{ undergoes bifurcation} \}$$
4. 統計力学・複雑系におけるロバストネス
多自由度系やネットワーク理論においては、以下の観点が重要視されます。
- スケールフリー性とロバストネス:複雑ネットワークにおいて、ノードの次数分布がべき乗則に従う場合、ランダムな故障に対しては極めて高いロバストネスを示します（浸透理論による定義）。
- 熱力学的ロバストネス:ゆらぎの定理に関連し、微小な熱的ノイズの下でもマクロな秩序（相）が維持される性質。
5. 厳密な定式化の試み（制御理論的アプローチ）
現代物理学（特に生物物理や量子制御）では、$H_\infty$ 制御理論の枠組みを用いた定義も一般的です。
システム $G$ への入力 $u$ と出力 $y$、および不確実性 $\Delta$ に対して、以下のノルム条件が満たされるかどうかで評価します。
$$\| G(s) \Delta(s) \|_\infty < 1$$
これは、想定されるあらゆる攪乱（ノイズ）のエネルギー増幅率が、システムの安定を破壊する閾値を下回っていることを意味します。
まとめ
物理学におけるロバストネスとは、「写像の族（システムの集合）において、対象とするシステムが摂動に対して同相写像を保つ近傍の大きさ」として厳密に捉えることができます。
この定義について、さらに特定の分野（量子力学、流体力学、あるいは複雑ネットワークなど）に特化した詳細が必要でしょうか？
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