ハミルトン形式からニュートン形式への移行

ラグランジアンを経由せず、エネルギー（ハミルトニアン）から直接ニュートン形式へ繋げるのが、物理的直感としては最もスムーズです。

ハミルトニアンを「システムの全エネルギー」と定義することからスタートする最短手順を解説します。

まず、系の全エネルギーをハミルトニアン $H$ とし、位置 $q$ と運動量 $p$ の関数として書き下します。

$$H(p, q) = \text{運動エネルギー} + \text{ポテンシャルエネルギー} = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$

ここで、運動量は $p = m\dot{q}$ という物理的な定義に基づいています。

ハミルトンの正準方程式の2式を、上記の $H$ に対して計算します。

第1式：速度の定義$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{p^2}{2m} \right) = \frac{p}{m}$$これを変形すると $p = m\dot{q}$ となり、運動量の定義と整合します。
第2式：力の定義$$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{\partial V(q)}{\partial q}$$ここで、保守力の定義 $F = -\frac{\partial V}{\partial q}$ を用いると、次が得られます。$$\dot{p} = F$$

第1式で得られた $p = m\dot{q}$ を時間で微分します。

$$\dot{p} = \frac{d}{dt}(m\dot{q}) = m\ddot{q}$$

これと第2式の結果（$\dot{p} = F$）を等置すると：

$$m\ddot{q} = F \quad (\text{すなわち } ma = F)$$

これで、ラグランジアンを通さずに「エネルギーの記述（ハミルトン形式）」から「力の記述（ニュートン形式）」が導かれました。

このようにハミルトニアンから直接 $F=ma$ を導いた後で、「実は別の変数 $\dot{q}$ を主役にした形式も作れる」と付け加えることができます。

ハミルトニアン $H(p, q)$ に対して、変数 $p$ を $\dot{q}$ に入れ替える操作（ルジャンドル変換）を行うと、ラグランジアン $L$ が導かれます。

$$L(q, \dot{q}) = p\dot{q} – H = (m\dot{q})\dot{q} – \left( \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q) \right) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 – V(q)$$

この $L$ から出発しても、オイラー・ラグランジュ方程式を通じて全く同じ $F=ma$ に到達します。

まとめの構成図